В чем измеряется площадь боковой поверхности. Площадь боковой и полной поверхности конуса

Площадь поверхности пирамиды. В этой статье мы рассмотрим с вами задачи с правильными пирамидами. Напомню, что правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника.

Боковая грань такой пирамиды это равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника, проведенная из вершины правильной пирамиды, называется апофемой, SF – апофема:

В представленном ниже типе задач требуется найти площадь поверхности всей пирамиды или площадь её боковой поверхности. На блоге уже рассмотрено несколько задач с правильными пирамидами, где ставился вопрос о нахождении элементов (высоты, ребра основания, бокового ребра), .

В заданиях ЕГЭ, как правило, рассматриваются правильные треугольные, четырёхугольные и шестиугольные пирамиды. Задач с правильными пятиугольными и семиугольными пирамидами не встречал.

Формула площади всей поверхности проста — требуется найти сумму площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности:

Рассмотрим задачи:

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 72, боковые ребра равны 164. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:

*Боковая поверхность состоит из четырёх равных по площади треугольников. Основание пирамиды это квадрат.

Площадь боковой стороны пирамиды можем вычислить воспользовавшись :


Таким образом, площадь поверхности пирамиды равна:

Ответ: 28224

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 22, боковые ребра равны 61. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник.

Площадь боковой поверхности данной пирамиды состоит из шести площадей равных треугольников с сторонами 61,61 и 22:

Найдём площадь треугольника, воспользуемся формулой Герона:


Таким образом, площадь боковой поверхности равна:

Ответ: 3240

*В представленных выше задачах площадь боковой грани можно было найти используя другую формулу треугольника, но для этого нужно вычислить апофему.

27155. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

Для того, чтобы найти площадь поверхности пирамиды нам необходимо знать площадь основания и площадь боковой поверхности:

Площадь основания равна 36, так как это квадрат со стороной 6.

Боковая поверхность состоит из четырёх граней, которые являются равными треугольниками. Для того, чтобы найти площадь такого треугольника требуется знать его основание и высоту (апофему):

*Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты проведённой к этому основанию.

Основание известно, оно равно шести. Найдём высоту. Рассмотрим прямоугольный треугольник (он выделен жёлтым):

Один катет равен 4, так как это высота пирамиды, другой равен 3, так как он равен половине ребра основания. Можем найти гипотенузу, по теореме Пифагора:

Значит площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Таким образом, площадь поверхности всей пирамиды равна:

Ответ: 96

27069. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

27070. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Существуют ещё формулы площади боковой поверхности правильной пирамиды. В правильной пирамиде основание является ортогональной проекцией боковой поверхности, поэтому:

P - периметр основания, l - апофема пирамиды

*Эта формула основывается на формуле площади треугольника.

Если хотите узнать подробнее как эти формулы выводятся, не пропустите, следите за публикацией статей. На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Площадь боковой поверхности произвольной пирамиды равна сумме площадей её боковых граней. Специальную формулу для выражения этой площади имеет смысл дать в случае правильной пирамиды. Так, пусть дана правильная пирамида, в основании которой лежит правильный n-угольник со стороной, равной а. Пусть h - высота боковой грани, называется также апофемой пирамиды. Площадь одной боковой грани равна 1/2ah, а вся боковая поверхность пирамиды имеет площадь, равную n/2ha.Так как na - периметр основания пирамиды, то можно написать найденную формулу в виде:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению её апофемы на половину периметра основания.

Что касается площади полной поверхности , то просто к боковой прибавляем площадь основания.

Вписанные и описанные сфера и шар . Нужно отметить, что центр вписанной в пирамиду сферы лежит на пересечении биссекторных плоскостей внутренних двугранных углов пирамиды. Центр описанной около пирамиды сферы лежит на пересечении плоскостей, проходящих через середины ребер пирамиды и перпендикулярных им.

Усеченная пирамида. Если пирамиду рассеч плоскостью, параллельной её основанию, то часть, заключенная между секущей плоскостью и основанием, называется усеченной пирамидой. На рисунке показана пирамида, отбрасывая её часть, лежащую выше секущей плоскости, получаем усеченную пирамиду. Ясно, что малая отбрасываемая пирамида гомотетична большой пирамиде с центром гомотетии в вершине. Коэффициент подобия равен отношению высот: k=h 2 /h 1 , или боковых ребер, или других соответствующих линейных размеров обеих пирамид. Мы знаем, что площади подобных фигур относятся, как квадраты линейных размеров; так площади оснований обеих пирамид (т.е. пощади оснований усеченной пирамиды) относятся, как

Здесь S 1 - площадь нижнего основания, а S 2 - площадь верхнего основания усеченной пирамиды. В таком же отношении находятся и боковые поверхности пирамид. Сходное правило имеется и для объемов.

Объемы подобных тел относятся, как кубы их линейных размеров; например, объемы пирамид относятся, как произведения их высот на площади оснований, откуда наше правило получается сразу. Оно имеет совершенно общий характер и прямо следует из того, что объем всегда имеет размерность третей степени длины. Пользуясь этим правилом, выведем формулу, выражающую объем усеченной пирамиды через высоту и площади оснований.

Пусть дана усеченная пирамида с высотой h и площадями оснований S 1 и S 2 . Если представить себе, что она продолжена до полной пирамиды, то коэффициент подобия полнорй пирамиды и малой пирамиды легко найти, как корень из отношения S 2 /S 1 . Высота усеченной пирамиды выражается как h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Теперь имеем для объема усеченной пирамиды (через V 1 и V 2 обозначены объемы полной и малой пирамид)

формула объема усеченной пирамиды

Выведем формулу площади S боковой поверхности правильной усеченной пирамиды через периметры Р 1 и Р 2 оснований и длину апофемы а. Рассуждаем точно так же, как и при выводе формулы для объема. Дополняем пирамиду верхней частью, имеем P 2 = kP 1 , S 2 =k 2 S 1 , где k - коэффициент подобия, P 1 и P 2 - периметры оснований, а S 1 и S 2 - лощади боковых поверхностей всей полученной пирамиды и её верхней части соответственно. Для боковой поверхности найдем (а 1 и а 2 - апофемы пирамид, а = а 1 - а 2 = а 1 (1-k))

формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании имеющая параллелограмм. Существуют готовые формулы для расчета боковой и полной площади поверхности фигуры, для которых необходимы лишь длины трех измерений параллелепипеда.

Как найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

Необходимо различать прямоугольный и прямой параллелепипед. Основание прямой фигуры может представлять собой любой параллелограмм. Площадь такой фигуры необходимо вычислять по другим формулам.

Сумма S боковых граней прямоугольного параллелепипеда вычисляется по простой формуле P*h, где P – периметр и h – высота. На рисунке видно, что у прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны, а высота h совпадает с длиной ребер, перпендикулярных основанию.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Полная площадь фигуры состоит из боковой и площади 2-х оснований. Как найти площади прямоугольного параллелепипеда:

Где a, b и c – это измерения геометрического тела.
Описанные формулы просты для понимания и полезны при решении множества задач геометрии. Пример типового задания представлен на следующем изображении.

При решении подобного рода задач следует помнить, что основание четырехугольной призмы выбирается произвольно. Если за основание принять грань с измерениями x и 3, то значения Sбок будет иным, а Sполн останется 94 см2.

Площадь поверхности куба

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все 3 измерения равны между собой. В связи с этим формулы полной и боковой площади куба отличаются от стандартных.

Периметр куба равен 4a, следовательно, Sбок= 4*a*a = 4*a2. Данные выражения не обязательны для заучивания, но значительно ускоряют решение заданий.

Мы знаем, что такое конус, попробуем найти площадь его поверхности. Зачем нужно решать такую задачу? Например, нужно понять, сколько теста пойдет на изготовление вафельного рожка? Или сколько кирпичей понадобится, чтобы сложить кирпичную крышу замка?

Измерить площадь боковой поверхности конуса просто так не получится. Но представим себе все тот же рожок, обмотанный тканью. Чтобы найти площадь куска ткани, нужно разрезать и разложить ее на столе. Получится плоская фигура, ее площадь мы сможем найти.

Рис. 1. Разрез конуса по образующей

Сделаем так же с конусом. «Разрежем» его боковую поверхность вдоль любой образующей, например, (см. рис. 1).

Теперь «размотаем» боковую поверхность на плоскость. Получаем сектор. Центр этого сектора - вершина конуса, радиус сектора равен образующей конуса, а длина его дуги совпадает с длиной окружности основания конуса. Такой сектор называется разверткой боковой поверхности конуса (см. рис. 2).

Рис. 2. Развертка боковой поверхности

Рис. 3. Измерение угла в радианах

Попробуем найти площадь сектора по имеющимся данным. Сперва введем обозначение: пусть угол при вершине сектора в радианах (см. рис. 3).

С углом при вершине развертки нам придется часто сталкиваться в задачах. Пока же попробуем ответить на вопрос: а не может ли этот угол получиться больше 360 градусов? То есть не получится ли так, что развертка наложится сама на себя? Конечно же, нет. Докажем это математически. Пусть развертка «наложилась» сама на себя. Это означает, что длина дуги развертки больше длины окружности радиуса . Но, как уже было сказано, длина дуги развертки есть длина окружности радиуса . А радиус основания конуса, разумеется, меньше образующей, например, потому, что катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы

Тогда вспомним две формулы из курса планиметрии: длина дуги . Площадь сектора: .

В нашем случае роль играет образующая , а длина дуги равна длине окружности основания конуса, то есть . Имеем:

Окончательно получаем: .

Наряду с площадью боковой поверхности можно найти и площадь полной поверхности. Для этого к площади боковой поверхности надо прибавить площадь основания. Но основание - это круг радиуса , чья площадь по формуле равна .

Окончательно имеем: , где - радиус основания цилиндра, - образующая.

Решим пару задач на приведенные формулы.

Рис. 4. Искомый угол

Пример 1 . Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с углом при вершине. Найти этот угол, если высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см (см. рис. 4).

Рис. 5. Прямоугольный треугольник, образующий конус

Первым действием, по теореме Пифагора, найдем образующую: 5 см (см. рис. 5). Далее, мы знаем, что .

Пример 2 . Площадь осевого сечения конуса равна , высота равна . Найти площадь полной поверхности (см. рис. 6).

Какую фигуру мы называем пирамидой? Во-первых, это многогранник. Во-вторых, в основании этого многогранника расположен произвольный многоугольник, а стороны пирамиды (боковые грани) обязательно имеют форму треугольников, сходящихся в одной общей вершине. Вот теперь, разобравшись с термином, выясним, как найти площадь поверхности пирамиды.

Понятно, что площадь поверхности такого геометрического тела составится из суммы площадей основания и всей его боковой поверхности.

Вычисление площади основания пирамиды

Выбор расчетной формулы зависит от формы лежащего в основании нашей пирамиды многоугольника. Он может быть правильным, то есть со сторонами одинаковой длины, или неправильным. Рассмотрим оба варианта.

В основании – правильный многоугольник

Из школьного курса известно:

Но существует и общая формула, для расчета площади любого правильного многоугольника (Sn): надо умножить значение периметра этого многоугольника (Р) на радиус вписанной в него окружности (r), а затем разделить полученный результат на два: Sn=1/2P*r.

В основании – неправильный многоугольник

Схема нахождения его площади заключается в том, чтобы сначала разбить весь многоугольник на треугольники, вычислить площадь каждого из них по формуле: 1/2a*h (где а – основание треугольника, h – опущенная на это основание высота), сложить все результаты.

Площадь боковой поверхности пирамиды

Теперь рассчитаем площадь боковой поверхности пирамиды, т.е. сумму площадей всех ее боковых сторон. Здесь также возможны 2 варианта.

  1. Пусть у нас имеется произвольная пирамида, т.е. такая, в основании которой – неправильный многоугольник. Тогда следует вычислить отдельно площадь каждой грани и сложить результаты. Так как боковыми сторонами пирамиды по определению могут быть только треугольники, то расчет идет по упомянутой выше формуле: S=1/2a*h.
  2. Пусть наша пирамида – правильная, т.е. в ее основании лежит правильный многоугольник, и проекция вершины пирамиды оказывается в его центре. Тогда для вычисления площади боковой поверхности (Sб) достаточно найти половину произведения периметра многоугольника-основания (Р) на высоту (h) боковой стороны (одинаковую для всех граней): Sб=1/2 Р*h. Периметр многоугольника определяется сложением длин всех его сторон.

Полная площадь поверхности правильной пирамиды найдется суммированием площади ее основания с площадью всей боковой поверхности.

Примеры

Для примера вычислим алгебраически площади поверхности нескольких пирамид.

Площадь поверхности треугольной пирамиды

В основании такой пирамиды – треугольник. По формуле Sо=1/2a*h находим площадь основания. Эту же формулу применяем для нахождения площади каждой грани пирамиды, также имеющей треугольную форму, и получаем 3 площади: S1, S2 и S3. Площадь боковой поверхности пирамиды является суммой всех площадей: Sб= S1+ S2+ S3. Сложив площади боковых сторон и основания, получим полную площадь поверхности искомой пирамиды: Sп= Sо+ Sб.

Площадь поверхности четырехугольной пирамиды

Площадь боковой поверхности - это сумма 4-ех слагаемых: Sб= S1+ S2+ S3+ S4, каждое из которых вычислено по формуле площади треугольника. А площадь основания придется искать, в зависимости от формы четырехугольника - правильного или неправильного. Площадь полной поверхности пирамиды снова получится путем сложения площади основания и полной площади поверхности заданной пирамиды.



Похожие статьи